记录一些经典的结论，证明略去。

  • $r(A+B)\le r(A)+r(B)$，等号成立当且仅当 $\text{Im}(A)\cap \text{Im}(B)={\theta}$。

  • $r(AB)\le \min(r(A),r(B))$。

  • $r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$。

  • $AB=0\implies r(A)+r(B)\le n$。

  • 若 $A^2=A$，则 $r(A)=\text{tr}(A)$。

  • $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$，$\text{tr}(A_1\cdots A_n)=\text{tr}(A_n\cdot A_1\cdots A_{n-1})$，只能循环位移。

  • 降阶定理：$A,D$ 可逆，$\forall B\in M_{m\times n}(F),C\in M_{n\times m}(F)$，都有：
    $$
    |A|\cdot |D-CA^{-1}B|=|D|\cdot |A-BD^{-1}C|
    $$

  • 设有多项式 $f(x)$，且 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda_0)$ 是 $f(A)$ 的特征值（不保证重数相同）。

  • 对任意矩阵 $A\in M_{n\times m}(F),B\in M_{m\times n}(F)$，$AB$ 和 $BA$ 具有相同的特征值和重数。

  • 矩阵幂零等价于特征值全为 $0$。

  • Cayley Hamilton 定理：矩阵作用在自己的特征多项式上等于零。

  • $|A|=\prod \lambda_i$，$\text{tr}(A)=\sum\lambda_i$。

  • $\mathbb{C}$ 上若 $AB=BA$，则 $A,B$ 可同时上三角化；若还有 $A,B$ 都可对角化，则 $A,B$ 可同时对角化。

  • 实对称矩阵的合同规范型 $\text{diag}(I_p,-I_q,0)$。

  • 以下几个条件等价：

    • $A$ 正定。
    • $A$ 的所有主子式 $>0$。
    • $A$ 的所有顺序主子式 $>0$。
    • $A$ 的特征值都 $>0$。
    • $\forall \alpha\not=\theta,\alpha^TA\alpha>0$。

  • 若 $A$ 正定（半正定），则存在唯一 $S$ 满足 $S^2=A$，且 $S$ 也正定（半正定）。

  • 若 $A$ 正定，$B$ 半正定，则 $A+B$ 正定。

  • 若 $A$ 正定，则存在 $C$ 可逆，$A=C^TC$。

  • 若 $A$ 正定，则 $\det(A)\le \prod a_{ii}$。

  • 实对称矩阵正交对角化，即 $A=A^T\implies \exists Q$ 正交，$Q^TAQ=\text{diag}(\lambda_i)$。

  • 实矩阵奇异值分解：任意实矩阵 $A$ 均存在 $Q,T$ 正交，使得：

    $$
    Q^TAT=\begin{pmatrix}\text{diag}(\sigma_i)&0\cr 0&0\end{pmatrix}
    $$

    注意此处 $A$ 不一定要是方阵。

  • Hermite 矩阵酉对角化，即 $H=\overline{H}^T\implies \exists U$ 酉，$\overline{U}^TAU=\text{diag}(\lambda_i)$。