Algebra on Terminal

Advanced Algebra: Theory of Linear Transformations

Fri, 15 May 2026 15:16:00 +0800

定义：$\mathscr{A}:V\to V$，称 $V$ 之子空间 $U$ 为 $\mathscr{A}-$ 不变的，若 $U$ 在 $\mathscr{A}$ 下稳定，即 $\forall \alpha\in U,\mathscr{A}\alpha\in U\iff \mathscr{A}| _U:U\to U$ 为 $U$ 之线性变换。

注：若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为 $U$ 之基，则 $U$ 为 $\mathscr{A}-$ 不变的 $\iff \mathscr{A}\alpha_i\in U,\forall i$。
例：$\mathscr{A}:V\to V$，则 $\{0\},V$ 均为 $\mathscr{A}-$ 不变的，$\ker A,\text{Im}A$ 也均为 $\mathscr{A}-$ 不变的。
设 $U$ 为 $\mathscr{A}(:V\to V)-$ 不变的，则 $\mathscr{A}| _U:U\to U$，则：
- $\mathscr{A}$ 诱导 $V/U$ 上的线性变换 $\overline{\mathscr{A}}:V/U\to V/U$。
定义：$U$ 为 $r$ 维的 $\mathscr{A}-$ 不变子空间，则存在 $V$ 之基使得 $\mathscr{A}$ 在基下的矩阵形如：

Tue, 07 Apr 2026 11:55:21 +0800

定义：$F$ 为域，$(V,+)$ 为加法交换群。称 $V$ 为 $F$ 上的向量空间，若有 $F$ 在 $V$ 上的纯量乘法，记为 $\cdot:F\times V\to V$，使：
- “结合律”：$(k\cdot l)\cdot \alpha=k\cdot(l\cdot \alpha),\forall k,l\in F,\alpha\in V$；
- “分配律”：$(k+l)\cdot \alpha=k\cdot \alpha+l\cdot \alpha,k\cdot (\alpha+\beta)=k\cdot \alpha+k\cdot \beta,\forall k,l\in F,\alpha,\beta\in V$；
- “酉性”：$1\cdot \alpha=\alpha,\forall \alpha\in V$。
注：
- 向量空间也称作线性空间，其中的元素称为向量。
- 域 $F$ 在 $V$ 上的满足以上三个性质的“纯量乘法”也称作域 $F$ 在 $V$ 上的域作用。
  
  将域改为有 $1$ 的环 $R$ 时，则 $V$ 称为 $R-$ 模。
- 简单事实：零元唯一，负元唯一，$0\cdot \alpha=\theta$，$-1\cdot \alpha=-\alpha$，$k\cdot \theta=\theta$。
向量空间之例：
- $F^n$，$F$，$M_{m\times n}(F)$，$F[x]$，$F[x_1,\dots,x_n]$，$C[a,b]/\mathbb R$。
- $V$ 为 $\mathbb Q$ 上之 Cauchy 列集合。定义：

Tue, 03 Mar 2026 14:12:13 +0800

设 $S$ 非空，定义 $S$ 中的一个代数运算指一个映射 $\varphi:S\times S\to S$。此处 $\times$ 为笛卡尔积。通常记 $S$ 为 $+$ 或 $\cdot$。
定义：设 $F$ 非空，$F$ 中定义了两个代数运算，分别称为加法 $+$ 和乘法 $\cdot$。称具备运算 $+,\cdot$ 的 $F$ $(F,+,\cdot)$ 为域（field），若：
1. 关于 $+$ 结合律：$(x+y)+z=(x+y)+z$。
2. 关于 $+$ 交换律：$x+y=y+x$。
3. 关于 $+$ 零元存在：$\exists$ 元素记为 $0\in F$，使 $0+x=x,\forall x\in F$。
4. 关于 $+$ 负元存在：$\forall x\in F,\exists y\in F$，使 $x+y=0$，此时称 $y$ 为 $x$ 的负元。
5. 关于 $\cdot$ 结合律：$(xy)z=x(yz)$。
6. 关于 $\cdot$ 交换律：$xy=yx$。
7. 关于 $\cdot$ 单位元存在：$\exists$ 元素记为 $1\in F$，使得 $1\cdot x=x,\forall x\in F$。

Tue, 16 Dec 2025 16:35:42 +0800

记录一些经典的结论，证明略去。

$r(A+B)\le r(A)+r(B)$，等号成立当且仅当 $\text{Im}(A)\cap \text{Im}(B)=\{\theta\}$。
$r(AB)\le \min(r(A),r(B))$。
$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$。
$AB=0\implies r(A)+r(B)\le n$。
若 $A^2=A$，则 $r(A)=\text{tr}(A)$。
$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$，$\text{tr}(A_1\cdots A_n)=\text{tr}(A_n\cdot A_1\cdots A_{n-1})$，只能循环位移。
降阶定理：$A,D$ 可逆，$\forall B\in M_{m\times n}(F),C\in M_{n\times m}(F)$，都有：
$$ |A|\cdot |D-CA^{-1}B|=|D|\cdot |A-BD^{-1}C| $$
设有多项式 $f(x)$，且 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda_0)$ 是 $f(A)$ 的特征值（不保证重数相同）。
对任意矩阵 $A\in M_{n\times m}(F),B\in M_{m\times n}(F)$，$AB$ 和 $BA$ 具有相同的特征值和重数。
矩阵幂零等价于特征值全为 $0$。
Cayley Hamilton 定理：矩阵作用在自己的特征多项式上等于零。
$|A|=\prod \lambda_i$，$\text{tr}(A)=\sum\lambda_i$。
$\mathbb{C}$ 上若 $AB=BA$，则 $A,B$ 可同时上三角化；若还有 $A,B$ 都可对角化，则 $A,B$ 可同时对角化。
实对称矩阵的合同规范型 $\text{diag}(I_p,-I_q,0)$。
以下几个条件等价：
- $A$ 正定。
- $A$ 的所有主子式 $>0$。
- $A$ 的所有顺序主子式 $>0$。
- $A$ 的特征值都 $>0$。
- $\forall \alpha\not=\theta,\alpha^TA\alpha>0$。
若 $A$ 正定（半正定），则存在唯一 $S$ 满足 $S^2=A$，且 $S$ 也正定（半正定）。