音乐与数学

课程信息：《音乐与数学》（全校通选课，00137975），王杰。

Lecture 1

节奏，旋律，和声是音乐的三大要素。没有旋律和和声的节奏是音乐的发端。

节拍与节奏

拍子（beat）是一段音乐中的基本律动（pulse）。

若干拍子按照一定的强弱规律组合形成节拍（meter）。

常见组合模式：二拍子，三拍子，四拍子，六拍子等。

构成节拍的一组拍子循环出现，每次循环构成一个小节（measure），乐谱中用小节线标记。

节拍通常用拍号（time signature）来标示。

二拍子和三拍子通常称作单拍子；由相同的单拍子结合而成的拍子称作复拍子。

素数拍子一定是单拍子（五拍子：《碟中谍》主题曲，Take Five）。

节拍（meter）：若干拍子按照一定的强弱规律形成的组合。

节奏（rhythm）：由音符的不同时值（duration）组合构成的模式。

sample：哈巴涅拉的节奏型，其节奏表示法（10011010|10011010），起拍和休止拍。

固定节奏型

固定节奏型（rhythmic ostinato）是在乐曲中无变化地反复出现，贯穿始终的节奏模式。

为了比较不同节奏型之间的异同，构造一个节奏型的几何模型，引入若干关于节奏型的度量特征。

sample：bolero 中的小军鼓，古巴颂乐。

极大均衡原则（maximal evenness）：在所有的拍上，要将起拍尽可能均匀分布。

相位：同一个节奏型的不同表示缘于选取不同的起点，称他们为相位不同。

节奏奇性：每个起拍的对径点都不是起拍。增加了节奏感和音乐的活力。

距离序列：节奏型中，由相邻起拍点之间的距离构成的序列称作该节奏的距离序列。

人耳感知的时间特点：相对于时间间隔的绝对长度，人类听觉系统对于一系列音乐事件之间的相对变化更为敏感。因此引出：

节奏型的轮廓（contour）：提取出相对变化特征。用 0,+,- 标示下一个距离对比前一个不变，增加还是减小。例：[3,3,4,2,4] => [0,+,-,+,-]。古巴颂乐和 fume-fume 的轮廓相同。

两个节奏型称作是轮廓同构的（contour isomorphic），若两个轮廓序列可以经过循环位移变成相同。

影子（shadow）：哥哥起拍之间的间隔中间形成一个与发声的节奏对偶的节奏，称为影子。

sample：古巴颂和它的影子节奏是轮廓同构的。

音乐与数学

毕达哥拉斯的四艺：quantity（by itself 算术，in its relation to anothor quantity 音乐），magnitude（stationary 几何，in motion 天文）。

《史记卷二十五·律书第三》：用三分损益法得到：宫商角征羽。

Leibniz: Music is nothing but unconscious arithmetic.

Sylvester: The musician feels Mathematic, the mathematician thinks Music.