课程信息：《音乐与数学》（全校通选课，00137975），王杰。

Lecture 1

节奏，旋律，和声是音乐的三大要素。没有旋律和和声的节奏是音乐的发端。

节拍与节奏

拍子（beat）是一段音乐中的基本律动（pulse）。

若干拍子按照一定的强弱规律组合形成节拍（meter）。

常见组合模式：二拍子，三拍子，四拍子，六拍子等。

构成节拍的一组拍子循环出现，每次循环构成一个小节（measure），乐谱中用小节线标记。

节拍通常用拍号（time signature）来标示。

二拍子和三拍子通常称作单拍子；由相同的单拍子结合而成的拍子称作复拍子。

素数拍子一定是单拍子（五拍子：《碟中谍》主题曲，Take Five）。

节拍（meter）：若干拍子按照一定的强弱规律形成的组合。

节奏（rhythm）：由音符的不同时值（duration）组合构成的模式。

sample：哈巴涅拉的节奏型，其节奏表示法（10011010|10011010），起拍和休止拍。

固定节奏型

固定节奏型（rhythmic ostinato）是在乐曲中无变化地反复出现，贯穿始终的节奏模式。

为了比较不同节奏型之间的异同，构造一个节奏型的几何模型，引入若干关于节奏型的度量特征。

sample：bolero 中的小军鼓，古巴颂乐。

极大均衡原则（maximal evenness）：在所有的拍上，要将起拍尽可能均匀分布。

相位：同一个节奏型的不同表示缘于选取不同的起点，称他们为相位不同。

节奏奇性：每个起拍的对径点都不是起拍。增加了节奏感和音乐的活力。

距离序列：节奏型中，由相邻起拍点之间的距离构成的序列称作该节奏的距离序列。

人耳感知的时间特点：相对于时间间隔的绝对长度，人类听觉系统对于一系列音乐事件之间的相对变化更为敏感。因此引出：

节奏型的轮廓（contour）：提取出相对变化特征。用 0,+,- 标示下一个距离对比前一个不变，增加还是减小。例：[3,3,4,2,4] => [0,+,-,+,-]。古巴颂乐和 fume-fume 的轮廓相同。

两个节奏型称作是轮廓同构的（contour isomorphic），若两个轮廓序列可以经过循环位移变成相同。

影子（shadow）：哥哥起拍之间的间隔中间形成一个与发声的节奏对偶的节奏，称为影子。

sample：古巴颂和它的影子节奏是轮廓同构的。

音乐与数学

毕达哥拉斯的四艺：quantity（by itself 算术，in its relation to anothor quantity 音乐），magnitude（stationary 几何，in motion 天文）。

《史记卷二十五·律书第三》：用三分损益法得到：宫商角征羽。

Leibniz: Music is nothing but unconscious arithmetic.

Sylvester: The musician feels Mathematic, the mathematician thinks Music.

Lecture 2

音乐鉴赏，无实质知识点内容。

Lecture 3

声音的物理属性

音乐：凭借声波振动而存在、在时间中展现、通过人类的听觉器官而引起各种情绪反应和情感体验的艺术门类。

声波是纵波。

声音的四个物理属性：

  • 声音的高低是由振动频率决定的，对应于音乐中的音高（pitch）。

  • 声音的强弱是由振动幅度决定的，对应于音乐中的力度（dynamics）。我们听到声音的响度（loudness）是由耳朵中鼓膜受到的空气压强决定的。

  • 声音持续的时间长度，对应于音乐中的时值（duration）。

  • 不同声音的特点是由其振动波形决定的，对应于音乐中的音色（timbre）。

通常人耳能听到的声音频率在 20～20000 赫兹（Hz），即每秒振动 20 次 ～ 2 万次。

音乐会音高（concert pitch）：中央 C 上放的 A 定义为 440Hz。

人类的听觉对于频率的感知不是线性的。

振动体发出声音的强度（客观强度）由其振幅决定。听到的声音响度是由耳朵中鼓膜受到的空气压强决定的。

人耳的听觉下限阈值是 20 微帕。

人耳对于声音强弱对感觉并不是线性的。在声学中，用声压水平（SPL）来度量：

$$
L_p=20\log_{10}\left(\frac{p}{p_0}\right)
$$

其中 $p_0$ 是 1000Hz 时的听觉下限阈值（20 微帕），$p$ 时实际声压。这样定义的声压水平，其单位是分贝。

不同的音色在直观上表现为不同的振动波形，它是由各个振动模态中的频率和振幅决定的。

振幅包络（envelope）：ADSR，Attack 起音，Decay 衰减，Sustain 持续，Release 释放。

描述声音的各个频率成分随时间变化的图形称作频谱图（spectrogram）。

把声音的各个频率成分从低到高排列起来形成的序列称为泛音列（overtone series）。

傅立叶级数：满足一定条件的周期函数 $f(x)$ 可以被表示为一系列 $\sin$ 和 $\cos$ 的无穷级数：

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\sin(nx)+b_n\cos(nx)\right)
$$

乐音体系

声音可以分成乐音和噪音两大类。区别在于发出声音物体振动规律的不同。

音乐中所使用的、具有固定音高的全体乐音构成一个集合，称作音乐体系，其中的元素称作音级。

把全体音级从低到高排列，得到音列。

音列中相邻两个音级之间相差一个半音。在钢琴键盘上相邻的琴键发出的声音相差一个半音。隔一个键就相差一个全音。

每个音级有一个名字，称作音名。基本的音名只有七个：C，D，E，F，G，A，B。

在每一个八度中，相应位置的音循环重复这七个音名，就产生了重名的音，加下表以进行区分，如：$C_1,C_2,\dots,C_8$。

C D E F G A B 称作基本音级，将基本音级加以升高和降低得到的音称作变化音级。

  • $\mathrm{b}$ 表示降音。降低半音。

  • $\mathrm{bb}$ 表示重降音。降低一个全音。

  • $\#$ 表示升音。升高半音。

  • $\mathrm{X}$ 表示重升音。升高一个全音。

  • （打不出来）表示还原音。还原成本身音高。

异名同音：一个音级可能有多个不同的音名。两个不同的音名称为等音的，如果他们具有相同的音高。

唱名法：给音阶中的每个音级赋予不同的音节，以方便视唱等音乐教育和练习的活动，也称为阶名唱法。

现代常用的唱名：do re mi fa sol la si。他们构成了一个完整的自然音阶。其中 mi fa 之间和 si do 之间是半音，其他相邻唱名之间都是一个全音。

固定唱名法（fixed do）：唱名与音名一一对应，do=C, re=D, …。

首调唱名法（movable do）：又称移动唱名法。这时唱名 do 可以是音列中任何一个音级（包括变化音级），其后的是 re mi fa sol la si。同样 mi fa 之间和 si do 之间是半音，其他均为全音。

记谱法

以书面形式将音乐记录下来的方法叫记谱法（notation）。

目前音乐理论中普遍采用的记谱法是五线谱。水平方向表示时间维度，垂直方向代表音高纬度。

不同的音符表示乐音的不同长度，音符通常由符头、符干和符尾组成。音符所代表的时值是相对长度。

附点：附点音符时值是原来音符时值 $\times \frac 3 2$。

绝对时值为速度（tempo）：$♩=60$ 表示每分钟 $60$ 个四分音符。

高音谱号下加一线为 $C_4$，低音谱号上加一线为 $C_4$。

音程

两个音级之间的距离称为音程（interval）。高的音称为上方音，称作冠音；低的音为下方音，称作根音。

音程的名称由度数和半音数同时确定。

度数：度数是从一个音级到另一个音级之间包含的音名数量（左闭右闭）。例如 D-F 是三度，E-B 是五度。

半音数：半音数是音程所包含的半音的数目。例如：D-F 包含三个半音，F-A 包含四个半音。前者称为小三度（minor third），后者称为大三度（major third）。

  • 一度：纯一度（0 半音）。

  • 二度：小二度（1 半音），大二度（2 半音）。

  • 三度：小三度（3 半音），大三度（4 半音）。

  • 四度：纯四度（5 半音），增四度（6 半音）。

  • 五度：减五度（6 半音），纯五度（7 半音）。

  • 六度：小六度（8 半音），大六度（9 半音）。

  • 七度：小七度（10 半音），大七度（11 半音）。

  • 八度：纯八度（12 半音）。

自然音程：上面所有的音程均为自然音程，可以在白键上直接表示。

从自然音程出发，改变其半音数，可以得到变化音程。小音程或纯音程减一半音得到减音程，大音程或纯音程增加一个半音得到增音程。

协和音程和不协和音程

通常认为：纯四度、纯五度、纯八度音程以及大小三度、大小六度属于协和音程（consonant interval）；二度、七度音程和其他所有增、减音程都属于不协和音程（dissonant interval）。通常认为增四减五度（三全音）最不协和。

继续划分纯音程为完全协和音程，大小三度和大小六度为不完全协和音程。

两个声音的振动频率之比越简单，相应的音程就越协和。例：纯五 3:2，纯四 4:3，而小儿 16:15，三全音 45:32。

赫尔姆霍兹拍音理论：假设两个正弦单音的频率分别是 $\omega$ 和 $\omega+\delta$，则他们的叠加：

$$
\sin(2\pi(\omega+\delta)t)+\sin(2\pi\omega t)=2\sin(2\pi(\omega+\delta/2)t)\cdot \cos(\pi \delta t)
$$

得到频率为 $\delta+\delta/2$ 的单音，但是受 $\cos(\pi\delta t)$ 项大小控制，因此形成拍音。

频率分别为 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ 的两个声音叠加，每秒产生的拍音数 $\delta=|\omega_1-\omega_2|$。

赫尔姆霍兹拍音理论认为，拍音 $\le 6$ 或过多则协和。但该理论本身有缺陷。

心理学实验：认为未经音乐训练的人听协和音程的两个音应当是一个音。