高等代数：向量空间与线性映射

向量空间结构

定义：$F$ 为域，$(V,+)$ 为加法交换群。称 $V$ 为 $F$ 上的向量空间，若有 $F$ 在 $V$ 上的纯量乘法，记为 $\cdot:F\times V\to V$，使：
- “结合律”：$(k\cdot l)\cdot \alpha=k\cdot(l\cdot \alpha),\forall k,l\in F,\alpha\in V$；
- “分配律”：$(k+l)\cdot \alpha=k\cdot \alpha+l\cdot \alpha,k\cdot (\alpha+\beta)=k\cdot \alpha+k\cdot \beta,\forall k,l\in F,\alpha,\beta\in V$；
- “酉性”：$1\cdot \alpha=\alpha,\forall \alpha\in V$。
注：
- 向量空间也称作线性空间，其中的元素称为向量。
- 域 $F$ 在 $V$ 上的满足以上三个性质的“纯量乘法”也称作域 $F$ 在 $V$ 上的域作用。
  
  将域改为有 $1$ 的环 $R$ 时，则 $V$ 称为 $R-$ 模。
- 简单事实：零元唯一，负元唯一，$0\cdot \alpha=\theta$，$-1\cdot \alpha=-\alpha$，$k\cdot \theta=\theta$。
向量空间之例：
- $F^n$，$F$，$M_{m\times n}(F)$，$F[x]$，$F[x_1,\dots,x_n]$，$C[a,b]/\mathbb R$。
- $V$ 为 $\mathbb Q$ 上之 Cauchy 列集合。定义：
  - $\{a_n\}+\{b_n\}=\{a_n+b_n\}$；
  - $k\cdot \{a_n\}=\{k\cdot a_n\}$；
  - 零元 $\{a_n=0\}_n$。
  则 $V$ 为 $\mathbb Q$ 上一空间。
- $\mathbb R_+=\{x\in \mathbb R\mid x>0\}$。定义：
  - $x\oplus y=xy$；
  - $k\odot x=x^k,\forall k\in \mathbb R$；
  - 零元：$\theta=1$。
  则 $(\mathbb R_+,\oplus,\odot)$ 为 $\mathbb R$ 之空间。
- $V$ 为 $\mathbb C-$ 空间。定义 $V$ 上新的空间结构：
  - $+:V+V\to V$ 即为原本的加法；
  - $*:\mathbb C*V\to V$：$a*V=\bar a\cdot V$。
  则 $(V,+,*)$ 为 $\mathbb C-$ 空间，称为 $V$ 的共轭空间。
- $S$ 非空，$F$ 为域。$S$ 上的 $F$ 值函数 $f$ 指映射 $f:S\to F$。
  
  记 $\tilde f(S)$ 为 $S$ 上所有 $F$ 值函数之集合。在 $\tilde f(S)$ 上定义 $+,\cdot$ 为通常的函数加法域纯量乘法。
  
  则 $(\tilde f(S),+,\cdot)$ 为 $F-$ 空间。
- 考虑 $\tilde f(V)$，其中 $V$ 为 $F$ 上的向量空间。
  
  称 $f\in \tilde f(V)$ 为 $V$ 上的线性函数，若 $f$ 满足：
  - $f(k\alpha+l\beta)=k\cdot f(\alpha)+l\cdot f(\beta),\forall k,l\in F,\alpha,\beta\in V$。
  记 $V^*$ 为 $\tilde f(V)$ 中的线性函数集合。$V^*$ 称为 $V$ 的对偶空间。
- $X$ 非空。记 $\tilde f_X$ 为所有形式的有限线性组合 $\sum_{x\in X}a_xx$（其中 $a_x\in F$ 只有有限多个 $a_x\neq 0$）所构成的集合。容易定义 $+,\cdot$。
  
  则 $\tilde f_X$ 为 $F$ 上的向量空间，称 $\tilde f_X$ 为由 $X$ 自由生成的向量空间。
  
  注：“自由”指 $X$ 中的元无任何关系，只是记号。
  - 例：$X=\{1,x,x^2,\cdots,x^n,\cdots\}$，则 $\tilde f_X=F[x]$；
  - 例：$X=\{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\}$，则 $\tilde f_X=F^n$。
线性表出：$\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$（$s$ 有限），若存在 $k_1,\cdots,k_s$ 使得 $\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$。常记做：

$$
\beta=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\cr \vdots \cr k_s\end{pmatrix}
$$

一个向量组由另一个向量组线性表出，若每一个向量都可以有另一个向量组线性表出。即存在矩阵 $C$ 使得 $\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_s\end{pmatrix}C$，其中 $C=\begin{pmatrix}X_1&\cdots&X_t\end{pmatrix}$。

注：$t=s$ 时，$C$ 为方阵。
定义：$S\subset V$ 非空，$S$ 为有限集 $S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_s\}$ 时，称 $S$ 线性相关：若存在不全为 $0$ 的 $k_1,\cdots,k_s\in F$，使得 $\sum k_i\alpha_i=\theta$；否则称为线性无关。

若 $S$ 为无限集合，称 $S$ 线性相关，若 $S$ 中存在有限子集线性相关；否则称为线性无关。
向量组 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的极大无关组所包含的向量数目称为向量组的秩（$s$ 有限时）。
定义：称 $V$ 之有限子集 $S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 为 $V$ 之基，若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 无关且可（唯一）表出 $V$ 中的每个向量。此时称 $V$ 为 $n$ 维的。

称 $V$ 为有限维的，若 $V=\{\theta\}$ 或 $V$ 含有（有限）基。否则称为无限维的。

注：若 $V$ 无限维，则此处未定义 $V$ 之基的概念。

注：若 $V$ 有基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$，则 $V=\tilde f_X$，其中 $X=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$。
若 $\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_t\end{pmatrix}C$，其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_t$ 线性无关。则 $\beta_1,\cdots,\beta_s$ 无关当且仅当 $C$ 可逆。

设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 和 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 为 $V$ 之两基，$\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}C$，则 $C$ 称为由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的过渡矩阵。
命题：设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 和 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 为 $V$ 之两基，$\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}C$。$\forall \alpha=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_n\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}Y$，则 $X=CY$。

例：$F[x]_n=\{f(x)\in F[x]\mid \deg f\le n\}$。已知 $1,x,x^2,\cdots,x^n$ 是一组基。则 $\forall a\in F$，$1,x-a,(x-a)^2,\cdots,(x-a)^n$ 也是 $F[x]_n$ 之基。
命题：设 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 为 $[a,b]$ 上 $(n-1)$ 阶可导函数。定义：

$$
W(x)=\begin{vmatrix}
f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\cr
f_1’(x)&f_2’(x)&\cdots&f_n’(x)\cr
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr
f_1^{(n-1)}(x)&f_2^{(n-1)}(x)&\cdots&f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}
$$

称为 Wronski 行列式。若存在 $x_0\in [a,b]$ 使得 $W(x)\neq 0$，则 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 必无关。

例：判断 $1,\sin x,\cos x$ 是否无关。

$$
W(x)=\begin{vmatrix}1&\sin x&\cos x\cr 0&\cos x&-\sin x\cr 0&-\sin x&-\cos x\end{vmatrix}=-1
$$

注：若 $W(x)\equiv 0,\forall x$，则不能推出 $f_1,\cdots,f_n$ 一定相关。例如 $f_1=x^2,f_2=x\cdot |x|$。
定义：$V/F,U\subset V$，称 $U$ 为 $V$ 的子空间，若 $U$ 关于 $V$ 的 $+,\cdot$ 的限制也是向量空间。

注：$U$ 为 $V$ 之子空间 $\iff U$ 对 $V$ 之 $+,\cdot$ 封闭。
$\forall \alpha_1,\cdots,\alpha_s\in V$，记 $L(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)=\{\sum k_i\alpha_i\mid k_i\in F\}$ 为 $V$ 之子空间，称为由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 生成的子空间。

注：若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 为 $V$ 的一组基，则 $L(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)=V$。
设 $V_1,V_2$ 为两个子空间。定义：
- $V_1\cap V_2=\{\alpha\mid \alpha\in V_1\land\alpha\in V_2\}$，称为子空间的交；
- $V_1+V_2=\{\alpha+\beta\mid \alpha\in V_1,\beta\in V_2\}$，称为子空间的和。
更一般的，对于任意有限个子空间 $V_1,V_2,\cdots,V_s$，可以定义 $\cap_{i=1}^s V_i=V_1\cap V_2\cap \cdots\cap V_s$，和 $\sum_{i=1}^s V_i=V_1+V_2+\cdots+V_s$。
定理（维数公式）：$V_1,V_2$ 为 $V$ 的有限维子空间，则：

$$
\dim V_1+V_2=\dim V_1+\dim V_2-\dim V_1\cap V_2
$$

证：设 $\dim V_1=r,\dim V_2=s,\dim V_1\cap V_2=t$。

任取 $V_1\cap V_2$ 的一组基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_t$ 扩成 $V_1,V_2$ 的基：
- $V_1:\alpha_1,\cdots,\alpha_t,\beta_1,\cdots,\beta_{r-t}$；
- $V_2:\alpha_1,\cdots,\alpha_t,\gamma_1,\cdots,\gamma_{s-t}$。
故 $V_1+V_2=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_t,\beta_1,\cdots,\beta_{r-t},\gamma_1,\cdots,\gamma_{s-t})$。

故只需证明 $\alpha_1,\cdots,\alpha_t,\beta_1,\cdots,\beta_{r-t},\gamma_1,\cdots,\gamma_{s-t}$ 线性无关。

设 $k_1\alpha_1+\cdots+k_t\alpha_t+l_1\beta_1+\cdots+l_{r-t}\beta_{r-t}+m_1\gamma_1+\cdots+m_{s-t}\gamma_{s-t}=0$，那么：

$$
k_1\alpha_1+\cdots+k_t\alpha_t+l_1\beta_1+\cdots+l_{r-t}\beta_{r-t}=-m_1\gamma_1-\cdots-m_{s-t}\gamma_{s-t}\in V_2
$$

同时左边向量也属于 $V_1$，因此 $m_1\gamma_1+\cdots+m_{s-t}\gamma_{s-t}\in V_1\cap V_2$。

设 $m_1\gamma_1+\cdots+m_{s-t}\gamma_{s-t}=n_1\alpha_1+\cdots+n_t\alpha_t$，由于所有 $\gamma_i$ 和 $\alpha_j$ 构成 $V_2$ 之基，因此 $m_i\equiv 0$。

同理 $l_i\equiv 0$，从而 $k_i\equiv 0$。因此 $\alpha_1,\cdots,\alpha_t,\beta_1,\cdots,\beta_{r-t},\gamma_1,\cdots,\gamma_{s-t}$ 线性无关。
注：若 $V_1\cap V_2=\{\theta\}$，则任取 $V_1,V_2$ 之基合并即为 $V_1+V_2$ 的基。
定义：称 $V_1+V_2$ 为直和，若 $V_1+V_2$ 之元可唯一表成 $\alpha+\beta$ 的形式，$\alpha\in V_1,\beta\in V_2$。
定理：$V_1,V_2$ 为 $V$ 之有限维子空间，则下五条等价：
- $V_1+V_2$ 为直和；
- $V_1+V_2$ 之零元 $\theta_{V_1+V_2}$ 的表示方式唯一：$\theta_{V_1+V_2}=\theta_{V_1}+\theta_{V_2}$；
- $V_1\cap V_2=\{\theta\}$；
- $\dim V_1+\dim V_2=\dim V_1+V_2$。
- $V_1,V_2$ 之基合并即为 $V_1+V_2$ 的基。
命题：$\forall U\subset V$ 为子空间，必存在 $V$ 之子空间 $W$ 使得 $V=U\oplus W$，$W$ 称为 $U$ 在 $V$ 中的补空间。
定义：称 $\sum_{i=1}^s V_i$ 为直和，若 $\sum_{i=1}^s V_i$ 中的每个向量都可唯一表示成 $V\sum_{i=1}^s \alpha_i,\alpha_i\in V_i$。
定理：$V_1,\cdots,V_s$ 为 $V$ 之有限维子空间，则下五条等价：
- $V_1+\cdots+V_s$ 为直和；
- $\sum V_i$ 之零元 $\theta_{\sum V_i}$ 的表示方式唯一；
- $V_i\cap \sum_{j\neq i}V_j=\{\theta\}$（并非等价于 $V_i\cap V_j=\{\theta\}$）；
- $\sum \dim V_i=\dim \sum V_i$。
- $V_1,\cdots,V_s$ 之基合并即为 $\sum V_i$ 的基。
若 $\sum V_i$ 为直和，即为 $\oplus V_i=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$。

称向量空间 $V$ 为其子空间 $V_1,\cdots,V_s$ 的直和，若：
- $V=\sum_{i=1}^s V_i$；
- $\sum V_i$ 为直和。
此时记 $V=\oplus_{i=1}^s V_i$。
设 $V_1,\cdots,V_s$ 为 $s$ 个向量空间（不必是某个向量空间的子空间）。设 $V_1\times \cdots\times V_s=\{(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\mid \alpha_i\in V_i\}$ 为笛卡尔积。容易定义加法和纯量乘法。

则 $V_1\times \cdots\times V_s$ 为 $F$ 上向量空间，称为 $V_1,\cdots,V_s$ 的（外）直和，记做 $\oplus_{i=1}^s V_i$。

注：$F^n=\oplus_{i=1}^n F$。
$V/F$，$U\subset V$ 为子空间。用 $U$ 定义 $V$ 中的二元关系 $\sim$：称 $\alpha\sim\beta$ 若 $\alpha-\beta\in U$。则 $\sim$ 为等价关系。

$\alpha$ 所在的等价类 $\bar\alpha=\{\beta\mid \alpha-\beta\in U\}$ 记做 $\alpha+U=\{\alpha+\gamma\mid \gamma\in U\}$。

注： $\bar\alpha=\bar{\alpha+\gamma},\forall \gamma\in U$；$\bar 0=U$。
记 $V/U$（读作 $V$ 模 $U$）为所有等价类集。

在 $V/U$ 中定义 $+,\cdot$：
- $\bar\alpha+\bar\beta=\bar{\alpha+\beta}$；
- $k\bar\alpha=\bar{k\alpha}$。
注：该定义为良定义，即不依赖代表元选取。

则 $V/U$ 为向量空间，称为 $V$ 关于子空间 $U$ 的商空间。
定理：$U$ 为有限维向量空间 $V$ 的子空间，则 $\dim V/U=\dim V-\dim U$。

证：任取 $U$ 的一组基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$，将其扩为 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_s$（$\dim V=r+s$）。

断言：$\bar\beta_1,\cdots,\bar\beta_s$ 为 $V/U$ 的一组基：
- 无关性：设 $k_1\bar\beta_1+\cdots+k_s\bar\beta_s=0$，则 $k_1\beta_1+\cdots+k_s\beta_s=\bar 0\in U$。
  
  因此 $k_1\beta_1+\cdots+k_s\beta_s=l_1\alpha_1+\cdots+l_r\alpha_r$，从而 $k_i=l_j=0,\forall i,j$。因此 $\bar\beta_1,\cdots,\bar\beta_s$ 无关。
- $\forall \bar\alpha\in V/U$，则 $\alpha\in V$。设 $\alpha=k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r+l_1\beta_1+\cdots+l_s\beta_s$。
  
  因此 $\bar\alpha=l_1\bar\beta_1+\cdots+l_s\bar\beta_s$。
定义：称向量空间 $V_1,V_2$ 之间的映射 $f:V_1\to V_2$ 为同构映射，若 $f$ 是 $1-1$ 的且 $f$ 保线性，即：
- $f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta),\forall \alpha,\beta\in V_1$；
- $f(k\alpha)=kf(\alpha),\forall \alpha\in V_1,k\in F$。
称 $V_1$ 和 $V_2$ 同构，若 $V_1,V_2$ 之间存在同构映射，此时记 $V_1\cong V_2$。
例：设 $V$ 有基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$，$\forall \alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)X$，定义：

$$
\begin{aligned}
\sigma_V:V&\to F^n\cr
\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)X&\mapsto X
\end{aligned}
$$

则 $\sigma_V$ 保线性，且 $\sigma_V$ 为 $1-1$ 的，因此为同构。称为坐标同构映射。
命题：$V_1\cong V_2\iff \dim V_1=\dim V_2$。

推论：$U$ 为 $V$ 之子空间，令 $V=U\oplus W$，则 $W\cong V/U$。
定理（第二同构定理）：$U_1,U_2$ 为 $V$ 之子空间，则：$(U_1+U_2)/U_1\cong U_2/(U_1\cap U_2)$。
定理（第三同构定理）：$(V/U)/(W/U)\cong V/W$。

线性映射

定义：称 $f:V_1\to V_2$ 为线性映射，若 $f$ 保线性。

称线性映射 $f$ 为单 / 满 / 同构，若作为映射 $f$ 是单的 / 满的 / $1-1$ 的（双射）。

若 $V_1=V_2$ 则 $f:V\to V$ 称为线性变换。

注：单性判别：$f:V_1\to V_2$ 单 $\iff$ 若 $f(\alpha)=\theta$，则 $\alpha=\theta$。
例：
- $f:V_1\to V_2$，$\alpha\to \theta$，称为零映射。
- 固定 $k\in F$，定义 $f:V\to V,\alpha\mapsto k\alpha$，称为 $V$ 之纯量变换。
- $D:C^1[a,b]\to C[a,b]$，$f\mapsto f’$。
- $V=U\oplus W$，定义 $P_u:V\to V,\alpha=\alpha_U+\alpha_W\mapsto \alpha_U$，称为 $V$ 之沿 $W$ 到 $U$ 的投影变换。
- $S\subset T$，$\sigma:\tilde f(T)\to \tilde f(S),f\mapsto f|_S$，称为限制映射。
下面用花体 $\mathscr{A,B,C,D}$ 等来表示线性映射。

记 $Hom_F(V_1,V_2)$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 之所有线性映射。
- $(\mathscr{A}+\mathscr{B})\alpha=\mathscr{A}\alpha+\mathscr{B}\alpha$；
- $(k\mathscr{A})\alpha=k\mathscr{A}\alpha$。
$Hom_F(V_1,V_2)$ 为 $F$ 上的向量空间。

记 $Hom_F(V,V)=End_F(V)$。则 $End_F(V)$ 是 $F$ 上的向量空间，在 $End(V)$ 中定义乘法：$\mathscr{B}\cdot \mathscr{A}(\alpha)=\mathscr{B}(\mathscr{A}\alpha)$。

则 $End(V)$ 为有 $1$ 的环。
任子空间均来自于某个（些）线性映射。
$\mathscr{A}:V_1\to V_2$，定义 $\mathscr{A}$ 之核 $\ker \mathscr{A}$，像 $\text{Im}\mathscr{A}$：

$$
\begin{aligned}
\ker \mathscr{A}=\{\alpha\in V_1\mid \mathscr{A}\alpha=0\}\subseteq V_1\cr
\text{Im}\mathscr{A}=\{\mathscr{A}\alpha\mid \alpha\in V_1\}\subseteq V_2
\end{aligned}
$$

注：$\mathscr{A}$ 单 $\iff \ker\mathscr{A}=\{0\}$，$\mathscr{A}$ 满 $\iff \text{Im}\mathscr{A}=V_2$。
定理（基本定理）：$\mathscr{A}:V_1\to V_2$，$S\subseteq \ker\mathscr{A}$ 为子空间。$\pi:V_1\to V_1/S$ 为自然映射。则存在唯一线性映射 $\sigma:V_1/S\to V_1$ 使得 $A=\sigma\cdot\pi$，且 $\text{Im}\sigma=\text{Im}\mathscr{A},\ker\sigma=\ker \mathscr{A}/S$。

证：$\sigma:V_1/S\to V_2,\sigma(\alpha+S)\mapsto\mathscr{A}\alpha$。易验证。
定理（第一同构定理）：$\mathscr{A}:V_1\to V_2$，$\pi:V_1\to V_1/\ker\mathscr{A}$ 为自然映射。则存在唯一的同构 $\sigma:V_1/\ker \mathscr{A}\to \text{Im}\mathscr{A}\subseteq V_2$，使得 $\mathscr{A}=\sigma\cdot \pi$。
推论（维数公式）：$\mathscr{A}:V_1\to V_2$，则 $\dim V_1=\dim\ker\mathscr{A}+\dim\text{Im}\mathscr{A}$。

注：若 $\mathscr{A}:V\to V$，则 $\dim V=\dim\ker\mathscr{A}+\dim\text{Im}\mathscr{A}$，但是不说明 $V=\ker\mathscr{A}+\text{Im}\mathscr{A}$。
推论：$\mathscr{A}:V\to V$，$V$ 为有限维向量空间，则 $\mathscr{A}$ 单 $\iff \mathscr{A}$ 满。
$\mathscr{A}:V_1\to V_2,U\subset V_1$，记 $\mathscr{A}|_u$ 为 $\mathscr{A}$ 在 $U$ 上的限制。

注：$\ker \mathscr{A}|_U\subseteq \ker\mathscr{A}$。
例：$\mathscr{A}:V_1\to V_2,\mathscr{B}:V_2\to V_3$，则 $\dim\ker\mathscr{B}\mathscr{A}\le \dim\ker\mathscr{A}+\dim\ker\mathscr{B}$。

$$
\begin{aligned}
\dim\ker\mathscr{B}\mathscr{A}&=\dim V_1-\dim \text{Im}\mathscr{B}\mathscr{A}\cr
&=\dim V_1-\dim \text{Im}\mathscr{B}|_{\mathscr{A}V_1}\cr
&=\dim V_1-(\dim \mathscr{A}V_1-\dim \ker \mathscr{B}| _{\mathscr{A}V_1})\cr
&=\dim\ker \mathscr{A}+\dim \ker \mathscr{B}| _{\mathscr{A}V_1}\cr
&\le \dim \ker \mathscr{A}+\dim \ker \mathscr{B}
\end{aligned}
$$
定义：称 $\mathscr{A}:V\to V$ 为投影变换，若 $\mathscr{A}^2=\mathscr{A}$（即 $\mathscr{A}$ 幂等）。

例：$V=\oplus_{i=1}^s V_i$，$P_i:V\to V,P_i(\alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_s)\mapsto \alpha_i$。

有 $I=\sum P_i$，$P_iP_j=\delta_{i,j}P_i$（正交性）。
定理：设 $P_1,\dots,P_s$ 为 $V$ 之投影。若：
- $I=\sum_{i=1}^s P_i$；
- $P_iP_j=\delta_{i,j}P_iP_j,\forall i,j$。
则 $V=\oplus_{i=1}^s \text{Im} P_i$。

线性映射在坐标系下的描述

$\mathscr{A}:V_1\to V_2$，$\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 为 $V_1$ 之基，$\beta_1,\cdots,\beta_n$ 为 $V_2$ 之基。

$$
\begin{aligned}
&\mathscr{A}\alpha_1=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}X_1\cr
&\mathscr{A}\alpha_2=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}X_2\cr
&\cdots\cr
&\mathscr{A}\alpha_m=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}X_m\cr
\end{aligned}
$$

则有：

$$
\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}\mathscr{A}\alpha_1&\mathscr{A}\alpha_2&\cdots&\mathscr{A}\alpha_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}A\cr
&A=\begin{pmatrix}X_1&X_2&\cdots&X_m\end{pmatrix}\in M_{n\times m}(F)
\end{aligned}
$$

$A$ 称为 $\mathscr{A}$ 在基 $\{\alpha_i\},\{\beta_j\}$ 下的矩阵。
设 $\mathscr{A}\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}A$，则 $\forall \alpha=\begin{pmatrix}\alpha_1&\cdots&\alpha_m\end{pmatrix}X$，则：

$$
\mathscr{A}\alpha=\sum x_i\mathscr{A}\alpha_i=\begin{pmatrix}\beta_1&\cdots&\beta_n\end{pmatrix}AX
$$

即 $\mathscr{A}$ 将坐标为 $X$ 的向量映成了 $V_2$ 之坐标为 $AX$ 的向量。